คำตอบของทีม
ไม่ได้ส่งคำตอบ
ไม่ได้ส่งคำตอบ
คะแนน + โบนัสทำเร็ว
0.0
0.0
แชร์
ไม่ได้ส่งคำตอบ 
ให้ $a_1, a_2, . . . , a_{99} \not= 0$ และ $a_{100} = 7, a_{101} = -91$ เป็นจำนวนเต็ม ซึ่งทำให้พหุนาม $b_1x^{100} + b_2x^{99} + . . . + b_{100}x + b_{101}$ มีรากอย่างน้อยหนึ่งตัวเป็นจำนวนเต็มสำหรับทุกการเรียงสับเปลี่ยน $b_1, b_2, . . . , b_{101}$ ของ $a_1, a_2, . . . , a_{101}$
ให้ $m$ เป็นค่าน้อยสุดที่เป็นไปได้ของ $a_1 + a_2 + . . . + a_{99}$
และให้ $M$ เป็นค่ามากสุดที่เป็นไปได้ของ $a_1 + a_2 + . . . + a_{99}$
จงหาค่าของ $m + M$
ให้ $m$ เป็นค่าน้อยสุดที่เป็นไปได้ของ $a_1 + a_2 + . . . + a_{99}$
และให้ $M$ เป็นค่ามากสุดที่เป็นไปได้ของ $a_1 + a_2 + . . . + a_{99}$
จงหาค่าของ $m + M$
เฉลย
ตอบ 168
แนวคิด
พิจารณากรณีที่ $b_{100} = -91$ และ $b_{101} = 7$ จะเห็นว่า
$P(x) = b_1x^{100} + b_2x^{99} + . . . + b_{99}x^2 - 91x + 7$
มีรากจำนวนเต็มที่เป็นไปได้คือ $\pm1, \pm7$ เท่านั้น
แต่ $P(\pm7)$ หารด้วย $7^2$ เหลือเศษ $7 \Rightarrow P(\pm7) \not= 0$
สมมติว่า $b_1 + . . . + b_{99} \not= 84$ จะได้ว่า
$P(1) = b_1 + . . . + b_{99} - 91 + 7 \not= 0$
ดังนั้น $P(-1) = 0 \Rightarrow b_1 - b_2 + . . . - b_{98} + b_{99} + 91 + 7 = 0$ เสมอ
หากลองสลับ $b_i$ กับ $b_{i+1}$ จะเห็นว่า $b_i = b_{i+1}$ เมื่อ $i = 1, . . . , 98$
ดังนั้น $b_1 = b_2 = . . . = b_{99} = -98$
พิจารณา $Q(x) = -98x^{100} - 98x^{99} - . . . - 98x^3 - 91x^2 -98x +7$
ซึ่งจะเห็นว่า $Q(\pm7) \not= 0$ และ $Q(\pm1) \not= 0 \Rightarrow Q(x)$ ไม่มีรากที่เป็นจำนวนเต็ม
จึงสรุปได้ว่า $a_1 + a_2 + . . . + a_{99} = b_1 + . . . + b_{99} = 84$
ซึ่งทำให้ $b_1x^{100} + . . . + b_{100}x + b_{101}$ มี $1$ เป็นรากเสมอ
ดังนั้น $m = M = 84 \Rightarrow m + M = 168$